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应力线性化

1. 简介

• 应力线性化在压力容器分析设计中广泛使用；

• 基于ASME规范

  • 用线弹性计算结果评价容器强度；
  • 截面应力被线性化为薄膜应力+弯曲应力；
  • 薄膜应力为均布应力；
  • 弯曲应力为线性变化且反对称分布应力；
  • 线性化基于截面合力和力矩等效的原则。

   

2.线性化计算

2.1 薄膜应力

薄膜应力沿壁厚或路径均匀分布，其大小为相应应力分量在截面上合力的平均值，表示为：

其中$\sigma$为任意六个应力（sx、sy、sz、sxy、syz、sxz）分量之一。

2.2 弯曲应力

弯曲应力沿壁厚或路径线性分布，且沿壁厚或者路径终点反对称分布。该分布产生的弯矩和原始应力分布产生的弯曲大小一致，假设外侧节点的弯曲应力为$\sigma_b$，则有：

其中$\sigma$为任意应力分量。因此外侧弯曲应力的大小为：

2.3 主应力、应力强度、等效应力

线性化后，可以得到6个应力分量对应的薄膜应力（$S_{ij ,m}$）、弯曲应力($S_{ij,b}$)。则S1,S2,S3,SINT,SEQV的薄膜应力由6个薄膜应力分量（$S_{ij ,m}$）求出，弯曲应力由6个弯曲应力分量($S_{ij,b}$)求出。

2.4 峰值应力

线性化后，可以得到6个应力分量对应的薄膜应力（$S_{ij ,m}$）、弯曲应力($S_{ij,b}$)，用原始的6个应力分量减去薄膜应力和弯曲应力，得到峰值应力的6个应力分量，让后再用这6个分量求出主应力和应力强度等。所以线性化后主应力和应力强度的薄膜+弯曲+峰值应力往往不等于和应力（Total）。

3. 求解

3.1 Matlab 计算结果

以下以任意一有限元计算结果示例，其应力强度云图如下：

对其由内而外取一条路径（红线所示），红线上由内而外经过四个节点，各个节点应力状态为：

四个节点的坐标依次为：

根据上述公式，使用以下代码可以计算出6个应力分量及三个主应力的薄膜应力及弯曲应力：

61
1
% 四个节点的应力状态，依次为sx、sy、sz、sxy、syz、sxz
2
sn4=[-0.25037E+08 -0.32145E+08 -0.79458E+07  0.28775E+08  0.0000      0.0000 ];
3
sn1=[ 0.96907E+08  0.12621E+09  0.80323E+08 -0.12683E+09  0.0000      0.0000];
4
sn3=[ 0.11512E+08  0.18354E+08  0.19262E+08 -0.12366E+08  0.0000      0.0000];
5
sn2=[ 0.51497E+08  0.70925E+08  0.48394E+08 -0.62210E+08  0.0000      0.0000];
6
S=[sn1;sn2;sn3;sn4];
7
%各点坐标
8
ln4=[0.792667608977E-001    1.66897695709         0.00000000000];
9
ln1=[0.774554851510E-001    1.66747760283         0.00000000000];
10
ln3=[0.786600643580E-001    1.66847985656         0.00000000000];
11
ln2=[0.780563057757E-001    1.66798007181         0.00000000000];
12
% 各点距离第一点的距离loc
13
dis = @(loc1,loc2) sqrt(sum((loc1-loc2).^2)); %求距离函数
14
loc=[0,dis(ln1,ln2),dis(ln1,ln3),dis(ln1,ln4)];
15
%六个应力分量依次线性化
16
[sxm,sxb]=linearize(loc,S(:,1));
17
[sym,syb]=linearize(loc,S(:,2));
18
[szm,szb]=linearize(loc,S(:,3));
19
[sxym,sxyb]=linearize(loc,S(:,4));
20
[syzm,syzb]=linearize(loc,S(:,5));
21
[sxzm,sxzb]=linearize(loc,S(:,6));
22
%分别求出薄膜和弯曲应力的三个主应力
23
[s1m,s2m,s3m]=s1s2s3([sxm,sym,szm,sxym,syzm,sxzm]);
24
[s1b,s2b,s3b]=s1s2s3([sxb,syb,szb,sxyb,syzb,sxzb]);
25
​
26
s1b_o=s1b; %外侧的第一主应力的弯曲应力
27
s1b_i=-s3b;%内测的第一主应力的弯曲应力
28
​
29
function [pm,pb] = linearize( loc,stress )
30
    % 线性化函数，输出薄膜应力和外侧弯曲应力
31
    loc=reshape(loc,size(stress));
32
    t=diff(loc);
33
    T=sum(t);
34
    pm=sum(0.5*(stress(1:end-1)+stress(2:end)).*t)/T;
35
​
36
    %计算弯曲应力的积分，这里粗暴的将眼壁厚的应力曲线分成1000段，化为求和计算，精度足够。
37
    nt=1000;
38
    Ts=0:T/nt:T;
39
    Ss=interp1(loc,stress,Ts);
40
    pb=sum((Ss(1:end-1)+Ss(2:end))/2*T/nt.*(0.5*Ts(1:end-1)+0.5*Ts(2:end)-T/2))*6/T^2;
41
end
42
​
43
function [s1,s2,s3 ] = s1s2s3( stress )
44
    % 根据任意点的应力状态求出其3个主应力。
45
    sx=stress(1);
46
    sy=stress(2);
47
    sz=stress(3);
48
    sxy=stress(4);
49
    syz=stress(5);
50
    sxz=stress(6);
51
    I1=sx+sy+sz;
52
    I2=sy*sz+sx*sz+sx*sy-syz^2-sxz^2-sxy^2;
53
    I3=[sx,sxy,sxz;
54
        sxy,sy,syz;
55
        sxz,syz,sz];
56
    I3=det(I3);
57
    S=sort(roots([1,-I1,I2,-I3]),1,'descend');
58
    s1=S(1);
59
    s2=S(2);
60
    s3=S(3);
61
end

3.2 ANSYS线性化结果

ANSYS下应力分量sx线性化结果如下图所示，横坐标为沿路径方向坐标。

全部线性化结果为：

15
1
             ** MEMBRANE **
2
      SX          SY          SZ         SXY         SYZ         SXZ
3
  0.3295E+08  0.4543E+08  0.3461E+08 -0.4118E+08   0.000       0.000    
4
      S1          S2          S3         SINT        SEQV
5
  0.8084E+08  0.3461E+08 -0.2456E+07  0.8329E+08  0.7228E+08
6
​
7
              ** BENDING **  I=INSIDE C=CENTER O=OUTSIDE
8
      SX          SY          SZ         SXY         SYZ         SXZ
9
 I  0.6070E+08  0.7910E+08  0.4402E+08 -0.7709E+08   0.000       0.000    
10
 C   0.000       0.000       0.000       0.000       0.000       0.000    
11
 O -0.6070E+08 -0.7910E+08 -0.4402E+08  0.7709E+08   0.000       0.000    
12
      S1          S2          S3         SINT        SEQV
13
 I  0.1475E+09  0.4402E+08 -0.7735E+07  0.1553E+09  0.1369E+09
14
 C   0.000       0.000       0.000       0.000       0.000    
15
 O  0.7735E+07 -0.4402E+08 -0.1475E+09  0.1553E+09  0.1369E+09